Задачи на использование теоремы Виета

y=

-2 0 x

y=2x+a y=

y=2x+a y=

Ответ.

Пример 4. Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда , и для решения задачи надо найти, при каких значениях параметра a имеет решение уравнение , причем . Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение . График функции y= – верхняя часть параболы (I) с вершиной (-3a;0) и ветвями, направленными вправо (рис.1), а график функции y=- парабола (II) с вершиной (0;-3a) и ветвями, направленными вверх (рис.2).

I y II y

a>0

a>0 a=0 a<0 a=0

a<0

0 t 0 t

рис.1 рис.2

Очевидно, что части парабол (I) и (II) (соответственно верхняя и правая половина) симметричны относительно прямой y=t, и точки пересечения парабол лежат на этой прямой. Построим графики (I) и (II) при a=0 (рис.3). Очевидно, что уравнение имеет два корня t1=0 и t2=1.

y y y

y=t2

y=t

y= y=t2-3a y=