Задачи на использование теоремы Виета

x1 d x2 x

В нашем случае это условие принимает вид . Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства , где требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство, находим, что .

Ответ. .

Пример 3. При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения удовлетворяют условиям х1<-1 и -1<х2<1?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а только один, а именно- больший корень квадратного трехчлена , где 3а+2≠0, принадлежит интервалу (-1;1), а другой меньше -1?

x1 -1 x2 1 x

Требования приведенной задачи выполняются только при условиях

.

Таким образом, в нашем случае приходим к рассмотрению системы

.

Решая эту систему, получаем, что .

Ответ. .

Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?

Решение. Обозначим квадратный трехчлен в левой части исходного уравнения через f(x). Тогда требования задачи выполняются, если совместна система:

, которую подробнее можно переписать в виде , и которой удовлетворяют все .

Ответ. .

Пример 5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а один из двух корней квадратного трехчлена f(x) принадлежит на вещественной оси интервалу (-1;1), а второй расположен вне этого интервала и по модулю не равен 1?

А тогда, замечая, что ровно один корень трехчлена f(x) принадлежит интервалу (-1;1) только в том случае, когда числа f(-1) и f(1) имеют разные знаки (корни по модулю не равны 1), приходим к выводу, что требование задачи выполняется только при условии f(-1)*f(1)<0, которое в нашем случае записывается в виде (.

Решая это неравенство, находим, что .

Ответ. .

Пример 6. Найти все значения m, при которых один из корней уравнения находится между числами 0 и 2, а второй между числами 3 и5.

Решение. Данное квадратное уравнение имеет корни . Очевидно, . Тогда искомые значения параметра найдем, решив систему:

Ответ. 1<m<3.

Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].

Решение. Данная функция возрастает на луче и убывает на луче , где - абсцисса вершины параболы. Этих соображений вполне достаточно для выяснения вопроса.