Задачи на использование теоремы Виета

Решение. Данное уравнение можно переписать так: и . Посмотрим графики функций. Графики функций рассмотрим в случаях, когда а<0, а=0, а>0.

y y y

y=x|x+2a| y=x|x| y=x|x+2a|

0 0 -2a 0

-2a x x x

y=-1

y=a-1 y=a-1

Ясно, что при любом значении a<0 решение исходного уравнения единственно. При a=0 решение исходного уравнения так же единственно. Наконец, при a>0 графики выглядят так, как показано на третьем рисунке. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение при a-1>0 (то есть, при a>1); или при –a2>a-1 (и при a>0). В последнем случае решим квадратное неравенство: –a2>a-1; a2+1-1<0. Соответствующее квадратное уравнение имеет корни: и , значит решение неравенства таково: ). Отсюда получаем ответ: ).

Ответ.

Пример 2. Найти все значения параметра a, при которых уравнение |x2-6x|=m имеет ровно три решения.

Решение. Построим графики функций y=|x2-6x| и y=m на одном чертеже.

y

9 y=m

0 6 x

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три решения тогда и только тогда, когда графики двух вышеуказанных функций пересекаются ровно в трех точках, то есть при m=9.

Ответ. m=9.

Пример 3. Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет решение.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и перенесем все слагаемые в правую часть, получим квадратное уравнение . Найдем дискриминант . Так как D≥0 при все значениях , то при каждом таком значении a имеется хотя бы одно решение у уравнения , а значит, и у уравнения .

y