Задачи на использование теоремы Виета

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни, сумма которых равна нулю?

Решение. Это уравнение квадратное, его дискриминант .

Сумма корней уравнения равна - и по условию задачи она равна нулю, то есть , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях а. при а=-2 дискриминант D=0+4*2=8 положителен, тогда как при а=1 дискриминант D=0-4=-4 оказывается отрицательным.

Ответ. а=-2.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один положительный корень?

Решение. Данное уравнение квадратное, значит имеет корни при неотрицательном дискриминанте.

+ - +

-1 4 a

То есть при . Значение большего (или единственного, в случае нулевого дискриминанта) корня должно быть положительным: , что равносильно (при D≥0) следующей совокупности условий:

То есть а<1.

С учетом того, что при .

-1 1 4 а

Ответ. .

Пример 3. При каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет корни одного знака?

Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение- квадратное, то а≠1 (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта.

.

Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то . Решением последнего неравенства является . С учетом условий D≥0 () и а≠1 получим .

Ответ. .

Пример 4. Сумма квадратов двух различных корней уравнения больше 10. Найти значения параметра а, при которых выполняется данное условие.

Решение. Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант положителен и а≠0.

D=16+12a.

Сумму квадратов корней данного уравнения выразим через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: