Задачи на использование теоремы Виета

Решаем систему:

+ -

2 a

.

- 0 2 а

Ответ. .

Пример 5. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение.

Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Выражение принимает наименьшее значение при p=0.

Ответ. p=0.

Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает значение, равное нулю.

Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Поскольку сумма квадратов корней равна нулю, то решаем уравнение . Находим .

Ответ. .

2.3 Задачи, в которых указан промежуток для решения

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?

Решение. Так как идет речь о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а≠2.

Рассмотрим функцию (а≠2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале ( и один раз на интервале (3;.

Рассмотрим два случая: а>2 и а<2.

В первом случае получим следующую систему неравенств:

2<a<5.

Во втором случае получим систему:

,

Которая не имеет решений.

Ответ: .

Пример 2. При каких значениях параметра а один из корней уравнения больше числа а ,а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х=а?

Для решения этой задачи воспользуемся тем общим фактом, что для того, чтобы корни квадратного трехчлена лежали на вещественной оси по разные стороны от числа d, необходимо и достаточно выполнение условия .

линейный уравнение задача параметр