Задачи на использование теоремы Виета

t1 t2 t t1 t t

рис.3 рис.4 рис.5

Если теперь увеличить значение a, то часть параболы (I) сдвинется влево, а часть параболы (II)- вниз (рис.4). Уравнение по-прежнему имеет положительное решение, но оно, очевидно, больше единицы. Если же сделать значение a немного меньше нуля, то часть параболы (I) сдвинется вправо, а часть параболы (II) сдвинется вверх, и точки их пересечения начнут сближаться, причем 0<t1<t2<1. При некотором значении a=a0 достигается крайнее положение, при котором кривые еще имеют общую точку, лежащую на прямой y=t (рис.5).

Решим уравнение t2-3a=t, то есть t2-t-3a=0. Найдем дискриминант D=1+12a, он не отрицателен при . При уравнение имеет единственный корень, а при все точки на параболе y= лежат выше прямой y=t.

Ответ. .

Пример 5. Найти наименьшее значение выражения a2+(b-1)2 среди тех a и b, для которых уравнение ||x-4|-2|-ax+4a-b=0 имеет ровно три различных решения. Указать, при каких a и b достигается наименьшее значение.

Решение. Сделаем замену z=x-4 и преобразуем уравнение к виду ||z|-2|=az+b. Построим график функции y=||z|-2| и y= az+b.

y y

y= az+b

y=||z|-2|

2b b

z

-2 0 2 z

Очевидно, эти графики могут пересекаться ровно в трех точках только в следующих случаях:

y 2) y 3) y

2b