Задачи на использование теоремы Виета

получаем неравенство 3+2a−a2 0, которое справедливо при a ∈ [−1; 3]. Пересекая этот промежуток с предыдущим, получаем

Ответ: a ∈ [−1; 0 ) ∪(0; 1 −]

Пример 6. В зависимости от значений параметра a решите уравнение

Решение. Полагая t = sin x, приведем уравнение к виду

at2 − 5at + 6a − 1 = 0.

Если a = 0, то решений нет.

При a 0 и при условии a ∈ (−∞;−4] ∪ (0;+∞) получаем корни уравнения t1,2 = . Так как вершина параболы f(t) = at2 − 5at + 6a − 1 находится в точке tв = ,

условие |t| 1 для меньшего из корней будет выполняться, если на концах отрезка [−1; 1] функция будет иметь разные знаки: f(−1)·f(1) 0 или (2a−1)(12a−1) 0. Решением последнего неравенства является интервал a ∈ .

Ответ: Если a∈: x=(−1)n arcsin , n∈Z, при других a решений нет.

Пример 7. Решите уравнение

относительно m.

Решение. уравнение имеет смысл при m≠0. Значение х должно удовлетворять условию cos2x≠0, tg2x≠. Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения, на, а первой дроби правой части на , получим уравнение .

Пусть . Несложные преобразования приводят к уравнению , имеющему два корня: .

Выше было отмечено, что значения х должны удовлетворять условию tg2x≠. Значит, необходимо исключить те значения m, при которых и равны 0,5.

. При этом .

. При этом .

Ответ: при ; при; при , , уравнение имеет два множества корней: .

Задачи для самостоятельного решения

1. В зависимости от значений параметра a решите уравнение cos4 x − (a + 2) cos2x − a − 3 = 0.

2. В зависимости от значений параметра a решите уравнение sin4 x+cos4x+sin2x +a= 0.

3. При каких значениях параметра a уравнение(a2+8a+16)(2−2cos x−sin2 x)+(32+2a2+16a)(cos x−1)+3a+10=0 не имеет решений?

4. При каких значениях параметра a уравнение loga−2 имеет решение?