Задачи на использование теоремы Виета

при всех а, кроме а=0.

При а=0 и а=1 одно решение; при а а>1 нет решений; при 0< а<1 два решения.

Ответ.

Пример 5. Найти все значения а, удовлетворяющие условию -1<а<1, при которых выражение принимает минимальное значение точно для одной пары (x;y).

Решение. Выражение минимально, когда . Решим это уравнение относительно х.

,

но х должен быть единственным. Следовательно, .

.

Из условия .

Чтобы y был единственным, соответствующая парабола должна снизу касаться оси Ох.

.

Ответ. .

Пример 6. Число а подобрано так, что уравнение имеет решение. Найти это решение и значение а.

Решение.

.

.

.

.

Ответ. , .

III.3 Примеры решения тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. При каких значениях параметра a значение выражения 1+cos x· (5 cos x+a sin x) будет равно нулю хотя бы при одном значении x?

Решение. Уравнение 1+cos x · (5 cos x+a sin x) = 0 после преобразований приводится к однородному sin2 x + a sin x cos x + 6 cos2 x = 0, которое после деления на cos 2 x и замены t = tg x превращается в квадратное: t2 +at+6 = 0. Так как t = tg x может принимать любые значения, это уравнение будет иметь решения при условии

D 0 или D = a2 − 240.

Ответ: a ∈ (−∞;−2] ∪ [ 2;+∞).

Пример 2. При каких значениях параметра a сумма loga (cos2 x+1) и loga(cos2 x+5) будет равна единице хотя бы при одном значении x?

Решение. Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.

Из уравнения loga(cos2 x+1)+loga(cos2 x+5) = 1 получим, что (cos2 x + 1)(cos2 x + 5) = a.

Обозначим cos2 x = t, 0 t 1, тогда уравнение примет вид

f(t) = t2 + 6t + (5 − a) = 0.

Условия задачи будут выполнены, если последнее уравнение будет иметь хотя бы один корень из отрезка [0; 1] (в отличие от задачи 6.1,где корень мог быть любым числом). В данном случае исследование только дискриминанта недостаточно. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке tв = −3, следовательно, на отрезке [0; 1] функция f(t) монотонно возрастает. Для того, чтобы на [0; 1] существовал корень, в силу непрерывности необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка f(t) имела разные знаки f(0) · f(1)0 или (5−a)(1+6+5−a)0. Решая последнее неравенство, получаем

Ответ: a ∈ [5; 12].

Пример 3. Решить уравнение относительно a.