Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами

Решение. Допустимыми значениями переменной являются все x>0; x.

На основании свойств логарифмов преобразуем уравнение к виду

(log5 x − 2)(log5 x + 2) + 4(1 − a2) = 0, откуда log5 x = ±2a. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня вида x1= 52a и x2= 5−2a. Оба эти корня удовлетворяют первому условию ОДЗ x > 0, а второе условие xбудет выполняться при .

Перейдем теперь к решению задачи. Очевидно, что при a = 0 условие задачи не выполняется. Рассмотрим два случая:

1) a > 0, тогда 52a > 5−2a и условие задачи равносильно неравенству 52a − 5−2a > . Выполняя замену 52a = t > 0; 5−2a = , получим, что t > 5 или a > .

2) a < 0, тогда наоборот, 5−2a >52a и неравенство имеет вид

5−2a−52a > , откуда после аналогичной замены имеем a<− .

Ответ: a ∈ (−∞;−1) ∪ (−1;− ) ∪ (; 1) ∪ (1;+∞).

Пример 5. При каких значениях параметра a сумма и больше единицы при всех x?

Решение. Рассмотрим сумму логарифмов:

эта сумма имеет смысл при любых x. Заменим t = , тогда

очевидно, что 0 < t 1.

Составим неравенство и найдем значения параметра a, при которых неравенство выполняется при всех t ∈ (0; 1].

1) Если a > 1, то логарифмическая функция возрастает. Запишем равносильное неравенство

(2 + t)(4 + t) > a или t2 + 6t + 8 − a > 0.

Абсцисса вершины параболы f(t)=t2+6t+8−a равна tв=−3, ветви направлены вверх, следовательно, на интервале (0; 1] функция f(t) монотонно возрастает. Неравенство f(t) > 0 выполняется тогда и только тогда, когда f(0) 0, откуда 1 < a 8.

2) При 0 < a < 1 исходное неравенство равносильно следующему:

f(t) = t2 + 6t + 8 − a < 0.

Аналогично первому случаю, функция f(t) монотонно возрастает на (0; 1], поэтому необходимо и достаточно выполнения условия f(1) < 0, т.е. 1+6+8−a < 0, a > 15. Полученный ответ не имеет пересечений с условием 0 < a < 1.

Ответ: a ∈ ( 1; 8 ].

Пример 6. При каких значениях параметра a сумма и равна единице ровно при одном x?

Решение. Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.

Составим уравнение .

Обозначая t = 2x > 0, запишем систему, равносильную данному уравнению:

или