Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами

Пример 1. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения

2 log4(2x2−x+2a−4a2)+log0,5(x2+ax−2a2) = 0 больше 1?

Решение. На основании свойств логарифмов исходное уравнение равносильно уравнению

log2(2x2 − x + 2a − 4a2) = log2(x2 + ax − 2a2),

которое, в свою очередь, равносильно системе

Уравнение записанной системы имеет корни x1= 1−a и x2= 2a.

Подставляя поочередно полученные значения x в неравенство системы, получим систему , из которой находим, что a ∈ (−1; 0) ∪ (0;

Учитывая теперь, что , из неравенства 5a2 − 2a + 1 > 1 получаем значения a ∈ (−∞; 0) ∪

Ответ: a ∈ (−1; 0) ∪.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение

имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а другой не больше −1?

Решение. Допустимые значения параметра a определяются системой

решением которой являются все a ∈ [; 4).

Рассмотрим сначала случай, когда , откуда a1 = ; a2 = . При этих значениях параметра a любое значение x удовлетворяет исходному уравнению, и, значит, последнее всегда имеет корни, о которых идет речь в задаче.

Пусть теперь первая скобка исходного уравнения равна нулю, что равносильно равенству

Из ОДЗ a ∈ следует, что ветви квадратного трехчлена направлены вниз, поэтому требования задачи будут выполнены только при условии

,

откуда получаем с учетом ОДЗ a ∈ [ 2; 4 ) ∪ .

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ: a = , a = ; a ∈ [ 2; 4 ).

Пример 3. При каких значениях параметра a уравнение имеет решения?

Решение. Допустимые значения переменной определяются системой

Перейдем в уравнении к логарифмам по основанию

откуда получим квадратное уравнение x2 − 2 lg a · x + 5 = 0.

Если его дискриминант D = 4 lg2a − 20 0 или | lg a| , то исходное уравнение будет иметь решения.

С учетом ОДЗ 0<x<2 lg a получаем, что lg a>0, и, следовательно, условиям задачи удовлетворяют все или.

Ответ:

Пример 4. При каких значениях параметра a уравнение имеет два корня, расстояние между которыми больше ?