Последовательность упражнений на решение уравнений и задач с параметрами в 7 классе

При решении задач с параметрическими данными необходимо установить множество допустимых значений параметров и неизвестных. После решения составленного уравнения проверяется, является ли найденное решение уравнения решением задачи. При этом множества допустимых значений параметров могут уточняться, после чего мы принимаем их за окончательное множество допустимых значений параметров.

2.Один из углов равнобедренного треугольника при основании равняется m градусам. Найти угол при вершине.

Решение. Если х- угол при вершине, то 0<х<1800 и 0<m<900. Составленное уравнение х+2m=1800, его решение х=1800-2m.

Ответ. Если 0<m<900, то угол при вершине равен (1800-2m) градусам.

3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см. периметр треугольника равен p см. найти длину основания.

Решение. Так как сумма двух боковых сторон меньше периметра, то p>20. Если основание треугольника х, то 0<х<20, так как третья сторона треугольника меньше суммы двух остальных сторон. Уравнение х+20= p и его единственное решение х= p-20. Исследование полученного решения относительно ограничений, поставленных относительно искомого, даёт

20< p<40.

Ответ. Если 20< p<40, то длина основания равна )см.

4.Сумма трёх положительных чисел, из которых каждое следующее в 10 раз больше предыдущего, составляет k. Какие эти числа?

Ответ. Если k>0, то искомые числа , , и .

Дополнительные задания:

1)Вычислить искомые числа, если их сумма k=999.

2)При каких значениях k эти числа будут натуральными? Привести примеры.

5. Сумма трёх последовательных целых чисел равна p. Найти эти числа.

Ответ. Если p- целое число, кратное трём, то искомые числа равны , , .

Вычислить искомые числа при p=24; 0; -12.

6. Длины сторон треугольника выражаются тремя последовательными целыми числами. Найти длину каждой стороны, если периметр треугольника равен p см.

Решение. Пусть наименьшая сторона треугольника равна х1 см, следующая х2 см и наибольшая х3 см. по условию задачи х2=х1+1 и х3=х2+1=х1+2.

Так как между сторонами треугольника имеет место соотношение х1+х2>х3, откуда

х1+х1+1>х1+2

или х1>1.

Имеем, p и х1 натуральные числа и притом p>0 и х1>1. Уравнение

х1+х1+1+х1+2= p, откуда х1=, х2=, х3=.

Так как х1>1, то и

>1, , , p>6.

Ответ. Если периметр треугольника p выражается натуральным числом большим 6 и кратным 3, то искомые стороны треугольника будут , , .