Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения

Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом?

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом?

Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р5 способов расположения девочек. Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способами.

Делится ли число 30! на:

а) 90; б) 92; в)94; г) 96?

Решение. а) 90=2·5·9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4∙23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. Число 47 простое и больше, чем 30. Так как среди множителей числа 30! нет числа 47, то число 30! не делится на 94.

г) 96=2·3·16. Среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. Значит, число 30! делится на 96.

Делится ли число 14! на:

а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?

Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

Решение: а) б)

в) г)

Вычислите значение дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

Выпишите все натуральные делители числа:

а) 4!; б) 5!; в)6!

Докажите, что если n<m, то m! делится на n! без остатка.

Что больше и во сколько раз:

а) 6!∙5 или 5! ∙6 б) (п+1)! ∙п или п! ∙(п+1)

3. Размещения

Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. в пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров. Если мы поместим шар a в первую ячейку, шар b во вторую, а шар с в третью ячейку, то получим одну из возможных упорядоченных троек шаров:

Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров, например:

Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением четырех элементов по три.

После этого дается определение и вводится соответствующее обозначение.

Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Число размещений из n элементов по k обозначают (читают «А из n по k»).

Из определения следует, что два размещения из п элементов по k считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.

Составим из элементов a, b, с, d все размещения по три элемента. В первой строке запишем все размещения, которые начинаются с элемента a, во второй – с элемента b, в третьей – с элемента c, в четвертой – с элемента d. Получим такую таблицу: