Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения

Заметим, что ответ на поставленный в примере вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Ответ на поставленный в примере 2 вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения

.

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk.

Пример 3.

Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

А В С Пристань Рис. 1

Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Упражнения в данном пункте направлены на составление различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций.

Упражнения

В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить?

На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.

На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?

Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 5·4=20 способами.

Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются?

Решение: чтобы записать двузначное число, надо выбрать цифру десятков и цифру единиц. Согласно условию на месте десятков в записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5. другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число – это упорядоченная пара, состоящая из цифр десятков и цифр единиц, то ее выбор, согласно правилу произведения, можно осуществить 3·2=6 способами.

Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 3·3·3=27 способами.

Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

Решение: Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Цифру десятков можно выбрать двумя способами, цифру единиц – двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1·2·2·2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?