Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения

Следовательно, трех дежурных можно выбрать 455 способами.

Пример 2.

Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Выбрать 3 яблока из 9 можно способами, а выбрать 2 груши из 6 можно способами. Так как при каждом выборе яблок груши можно выбрать способами, то сделать выбор фруктов, о котором говорится в задаче, можно способами.

Значит, указанный выбор фруктов можно сделать 1260 способами.

Упражнения

В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение. Искомое число способа выбора трех наборов равно .

Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими способами это можно сделать?

Сколькими способами можно выбрать 49 предметов из 50

Сколькими способами можно отобрать стартовую шестерку в волейбольном матче, если в команде заявлено 10 игроков?

Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

а) словарь нужен ему обязательно; б) словарь ему не нужен?

Решение. а) Так как выбор англо-русского словаря уже сделан, то оставшиеся 2 книги из 11 можно выбрать способами. Следовательно, .

Значит, выбор можно сделать 55 способами.

б) В этом случае надо выбрать 3 книги из 11. это можно сделать способами. Находим, что .

Выбор можно сделать 165 способами.

Ответ: а) 55 способов;

б) 165 способов.

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Четырех мальчиков из 16 можно выделить способами, а трех девочек из 12 можно выделить способами. Каждому выбору четырех мальчиков соответствует возможностей выбора трех девочек. Значит, указанный выбор дежурных можно сделать × способами.

.

Значит, выбор дежурных можно сделать 400400 способами.

Ответ: 400400 способов.

В задачах 54-60рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые:

а) начинаются с буквы в;

б) начинаются с буквы а, а оканчиваются буквой т?

Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?

Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 3 человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд;

б) Иванов и петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти, а Петров – остаться?

В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из четырех человек;

б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвертой досках?

Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех на пятый. Сколькими способами это можно сделать?