Общая классификация задач по их типу

Тогда х= является двукратным корнем на множестве {(a;b)|a2+b2-4>0,b≠0, b≥a2}.

Все частные уравнения для значений параметров {(a;b)|a2+b2>4, b≠0, b<a2} вне круга и ниже параболы, исключая точки прямой b=0, квадратные, причем дискриминант D=8(a2-b)>0. Общие решения уравнения на данном множестве значений параметров имеют вид x=.

b

-2 2 a

Ответ. ; ; .

Формулировки многих заданий помимо решения уравнения f(a)x2+g(a)x+h(a)=0 ставят задачи поиска значений параметров, для которых его общие решения f1(a)= и f2(a)= удовлетворяют одному из следующих условий:

1)оба или положительны, или отрицательны, или имеют различные знаки;

2)располагаются внутри некоторого промежутка () или вне его;

3)располагаются определенным образом относительно корней другого уравнения.

В таких формулировках присутствует некоторое действительное число и требуется найти значения параметра, обеспечивающие для общих решений х1=f1(a), x2=f2(a) одно из требований а)-в).

а) б) в)

х1 х2 х1 х2 х1 х2

В первом случае таким числом является ноль, во втором- числа, в третьем – один из корней другого уравнения. Простой способ решения таких задач основан на справедливости следующих результатов о расположении действительного числа относительно корней f1(a) и f2(a) многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) с параметром а и переменной х.

1.На множестве {a|f(a)≠0,D>0} для общих решений f1(a) и f2(a) многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) число удовлетворяет условию f1(a)<<f2(a) (или f2(a)<< f1(a)) для тех и только тех значений параметра, для которых f(a)F(a;)<0.

а) б) y

y

F(a;)

f1(a) f2(a) f1(a) x x

F(a;)

2.На множестве {a|f(a)≠0,D≥0} для многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) число располагается левее общих решений f1(a) и f2(a) для тех и только тех значений параметра, для которых f(a)F(a;)>0 и .