Общая классификация задач по их типу

-3 0 2 3 a

x=

x=

В уравнении f(a;b)x2+g(a;b)x+h(a;b)=0 не выше второй степени с параметрами а и b и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из вышеперечисленных типов с аналогичными характеристиками. Контрольные значения параметров определяются уравнениями f(a;b)=0 и D=g(a;b)2-4f(a;b)h(a;b)=0. В плоскости Оаb эти уравнения выделяют области, на которых дискриминант D имеет определенный знак. Тогда общая схема решения уравнений с двумя параметрами не меняется, лишь вместо числовой прямой используется координатная плоскость Оаb. Графическое изображение линий контрольных значений параметров и выделенных ими областей однотипности обеспечивает наглядность в выполнении каждого из этапов решения.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Частные уравнения не определены для всех значений параметров a и b, для которых a-b=0, то есть на множестве {(a;b)|a=b}. На области допустимых значений параметров {(a;b)|a≠b} исходное уравнение равносильно уравнению (2-ab)x2-2(a-b)x+2=0. Контрольными являются значения параметров, для которых 2-ab=0. На множестве точек {(a;b)|b=a,ab=2} гиперболы ab=2, исключая точки (-) и (), соответствующие частные уравнения -2(a-b)x+2=0 имеют общее решение х=.

b

a

Для значений параметров {(a;b)|a≠b,ab≠2} соответствующие частные уравнения являются квадратными. Дискриминант D=4(a-6)2-8(2-ab)=4(a2+b2-4) обращается в нуль на множестве контрольных точек {(a;b)|a≠b, a2+b2-4=0} окружности a2+b2=4, снова исключая точки(-) и ().

На множестве {(a;b)|a≠b, a2+b2=4} точек окружности соответствующие частные уравнения (2-ab)(x-)2=0 имеют двукратный корень .

Для допустимых значений параметров, отличных от точек гиперболы и окружности, дискриминант соответствующих квадратных уравнений отличен от нуля. На множестве {(a;b)|a≠b, a2+b2<4} точек круга дискриминант D отрицателен, и соответствующие частные не особые уравнения не имеют решений. Для точек {(a;b)|a≠b, ab≠2, a2+b2>4} вне этого круга дискриминант D>0, и общие решения уравнения х=.

Ответ.

Пример 4. Решить уравнение =0.

Решение. Для значений параметров {(a;b)|a2+b2-4≤0}соответствующие частные уравнения не определены.

На области допустимых значений параметров {(a;b)|a2+b2-4>0} выделим подмножество {(a;b)|a2+b2-4>0,b=0} точек прямой Оа, исключая точки круга. Соответствующие частные уравнения имеют вид 2|a|х+. Их общее решение х=.

На множестве точек {(a;b)|a2+b2-4>0,b≠0} частные уравнения имеют вторую степень. Их дискриминант D=4(|a2-b|+a2-b). По определению модуля D=.

Для точек {(a;b)|a2+b2-4>0,b≠0, b≥a2} не ниже параболы, исключая точки круга и прямой b=0, соответствующие не особые частные уравнения имеют вид 2=0.