Типы квадратных уравнений с параметрами

Y - <а<-3 y

f(x) g(x)

y1 0 z1 y2 z2 x y1 0 y2 z1 z2 x

Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой х=. Для f(x) имеем хв=-. На рассматриваемом интервале изменения а имеем -<. Вершина второй параболы также левее прямой х=. Следовательно, имеет место случай, когда вершины обеих парабол лежат по одну сторону от прямой х=. Осталось выяснить, какая из двух парабол на рисунке соответствует f(x), а какая g(x).

Если а<0 и х<, то f(x)- g(x)=(х-)<0, то есть f(x)<g(x). Значит, g(x) при х< идет выше f(x) и y1<z1<z2<y2. Если а=- , то y1<z1=z2<y2.

2)-3<а<0. В этом случае f()= g()=а(а3+27)<0. Как и в предыдущем пункте, при х< f(x)<g(x), y1<z1< y2< z2.

Если а=-3, то y1<z1<z2=y2.

Y

0 y1 z1 y2 z2

X

3)0<а≤. Имеем f()= g()>0. Обе вершины слева от прямой х=, и f(x)>g(x) при х<. Следовательно, z1<y1<y2<z2. Если а=, то z1<y1=y2<z2.

Y

z1 y1 0 y2 z2

x

Получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из соображений непрерывности следует, что на каждом из трех интервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запрещенные значения параметра, в данном случае а=0; нули дискриминантов- точки а=- и а= - и значения параметра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а=-3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при х2). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: а=- и а= , а для среднего, например, а=-1.