Типы квадратных уравнений с параметрами

Ответ. <а≤ , а=1.

Если бы в условии требовалось, чтобы оба корня располагались на заданном отрезке, то есть указывалось на наличие двух различных корней, то правое нестрогое неравенство ответа следовало бы заменить на строгое и исключить случай а=1.

Пример 2. Определить, как расположены корни уравнения ax2-3(a+1)x+2a+7=0 относительно отрезка [-1;4].

Решение. Решим эту задачу несколько иначе, способом, который можно назвать «обобщенным методом интервалов». Сначала определим, где обращается в ноль дискриминант уравнения. Имеем 9(a+1)2-4a(2a+7)=0, a2-10a+9=0, a1=1, a2=9.

При 1<а<9 корней у данного уравнения нет. Обозначив, как обычно, левую часть уравнения через f(x), найдем f(-1)=6a+10, f(4)=6a-5. Как видно, f(-1) и f(4) меняют знаки соответственно при а=-.

Множество значений параметра а точками -, 0, , 1, 9 разбивается на четыре интервала и две полупрямые (к найденным ранее значениям параметра а добавлено значение, при котором обращается в нуль старший коэффициент, а=0).

Рассмотрим эти шесть случаев.

1)а<-. Имеем D>0, а<0, f(-1) =6a+10<0, f(4)=6a-5<0, хв= можно проверить, что при а<- будет -1<<4. Значит уравнение имеет корни, ветви параболы направлены вниз, значения

f(x) при х=-1 и х=4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х=-1 и х=4. Следовательно, в этом случае оба корня расположены между -1 и 4.

y

-1 0 4

хв x

2)-<a<0 (случай а=- рассматривается отдельно). Имеем f(-1)>0, f(4)<0. А поскольку а <0, то один корень меньше -1, а другой расположен между -1 и 4.

y

4

-1 0 x

Точно так же рассматриваются остальные четыре случая.

Ответ: при а<-, <а<1, а>0 имеем -1 <х1<х2<4; при -<a<0 имеем х1<-1<х2<4; при 0<а< имеем -1 < х1< 4< х2; при 1<а<9 корней нет. Если а=-. То х1=-1, х2=, если а=0, то один корень х0=; если а=, то х1=, х2=4; если а =1, то х1=х2=3; если а=9, то х1=х2=.