Типы квадратных уравнений с параметрами

Задачи, связанные с квадратным трёхчленом, встречающиеся в школьной практике, чрезвычайно разнообразны. Но среди них нет достаточного количества разнообразных квадратных уравнений, содержащих параметр, где основное, что требуется от учащихся, это внимательное чтение формулировки задания.

Задачи первого типа. Определить все значения параметра а, при которых уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней.

Пример 1. Определить все значения параметра а, при которых уравнение 2ах2-4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.

Решение. Здесь главное- не забыть про случай а=0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а=0 имеем линейное уравнение -4х+1=0 с единственным корнем х=1/4. Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D/4=0.

4(a2+2a+1)-2a(4a+1)=0

2a2-3a-2=0

a1=-1/2; a2=2.

Ответ. 0; -1/2; 2.

К азбуке квадратного трёхчлена относится и теорема Виета.

Для того, чтобы х1 и х2 были корнями уравнения ах2+bx+c=0, необходимо и достаточно выполнение равенств:

х1+х2=-b/a; х1*х2=с/а.

Из теоремы Виета следует разложение на множители квадратного трёхчлена:

ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=0.

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения. Например:

Пусть х1 и х2 корни уравнения x2+px+q=0. Выразить x1 4+x24 через p иq.

Решение. x1 4+x24=(x12+x22)2-2x12*x22=(( х1+х2)2-2x1*x2)2-2x12*x22=(p2-2q)2-2q2=p4-4p2*q+2q2

Ответ. x1 4+x24= p4-4p2*q+2q2.

Как мы знаем, для того, чтобы квадратное уравнение ах2+bx+c=0 имело корни, необходимо и достаточно выполнение неравенства D≥0. Как правило, в случае необходимости в задачах доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем, чтобы потом доказать его неотрицательность.

Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+c=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ax02+bx0+c<0. Чаще всего в качестве х0 берут 0 ( даёт достаточное условие с<0), 1 ( условие а+b+c<0) или -1 ( условие а-b+c<0).

Пример 2. Доказать, что при любом а уравнение (a3-2a2)x2-(a3-a+2)x+a2+1=0 имеет решение.

Решение. Можно, конечно, попытаться найти дискриминант и доказать, что он положителен, но не будем спешить. Обозначим левую часть уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Попробуем х1=1. (Выбор такого значения выглядит естественным, поскольку в этом случае пропадают члены с а3). f(1)=-a2+a-1<0 при любом а. Теперь легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение. Более того, если a3-2a2≠0, то есть а≠0 и а≠2, данное уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 0<x<1.

Полезно научить учеников в процессе поиска решения почаще обращаться к «картинкам», искать соответствующую графическую интерпретацию.

Задачи второго типа. Задачи на определение знаков корней квадратного уравнения.

Теорема Виета очевидным образом используется в задачах, в которых требуется определить знаки корней квадратного уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение x2-2(a-3)x+a2-3a+2=0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.