Типы квадратных уравнений с параметрами

Необходимость первого условия очевидна. Второе неравенство означает, что знак f(x) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трёхчлены, удовлетворяющие первому и второму условиям, обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1.

Третье неравенство выделяет из них те трёхчлены, у которых оба корня больше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х=1.

y

a>0 a>0

0 1 x

a<0 a<0

Система всех трёх неравенств даёт нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Второе неравенство даёт а(4-6а)>0. 0<а<. А из третьего неравенства следует , что а<0 или а>1. Таким образом, нам нет необходимости решать первое неравенство, поскольку уже решённые неравенства несовместимы.

Ответ. Ни при каких.

2 вид. Задачи, в которых исследуется расположение корней квадратного трёхчлена относительно заданного отрезка здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения корней (оба меньше А; один меньше А, другой на отрезкеи так далее). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда D=0, то добавятся ещё 3 случая. Мы вновь не будем заниматься построением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а-1)х2-(а+1)х+а=0 удовлетворяют условию 0<х<3?

Решение. Обозначим f(x)= (а-1)х2-(а+1)х+а. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы f(x) (если а≠1) имела все свои корни внутри отрезка , будет выполнение системы неравенств:

1) D≥0

2) (а-1)f(0)>0

3) (а-1)f(3)>0

4) 0<хв<3, где хв=.

Оба неравенства 2) и3) выполняются при а> или а<0. Решим четвёртое неравенство: 0<<3. Будем иметь а> или а<-1.

Значит система неравенств 2), 3), 4) имеет решение а> или а<-1. Условие D≥0 даёт нам -3а2+6а+1≥0 или 3а2-6а-1≤0, откуда ≤а≤, а поскольку а> или а<-1, то <а≤. Отдельно рассматривается случай а=1.