Обучение доказательству

На первых уроках геометрии VII класса специальным предметом формирования должен быть прием переформулировки требования задачи (заключения теоремы). Сущность его заключается в замене требования задачи новым так, чтобы из него вытекало первоначальное. Очевидно, использование его предполагает владение приемами выведения следствий, подведения объекта под понятие, навыками анализа ситуаций. Приведем примеры упражнений, ориентированных на его усвоение.

5. Решите задачи, заменив предварительно их требования новыми так, чтобы из них следовали первоначальные. (Такая редакция формулировки задачи принята потому, что ученики VII класса не знакомы с понятием равносильности.)

1) Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

2) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки АС, ВС, ВD и АD равны, то прямые АВ и СD перпендикулярны.

В процессе доказательства приходится не только осуществлять выведение следствий, замену требования новым, но и самостоятельно формулировать промежуточные задачи. В нижеприведенных упражнениях предлагается учащимся к имеющемуся набору данных самостоятельно подобрать требование и решить полученную задачу.

6. Даны два луча АВ и ВО. Сформулируйте требование и решите полученную задачу.

Предполагаемые вопросы:

назовите лучи с вершиной А;

назовите лучи с вершиной В;

укажите лучи, не имеющие общих точек;

назовите дополнительные лучи.

7. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°.

Предполагаемые вопросы:

найдите эти углы;

найдите сумму двух других углов;

найдите все углы.

Конструирование упражнений, позволяющих организовать целенаправленную работу по формированию указанных умений, можно осуществить на заданном материале первых разделов учебников геометрии. Для этого необходима лишь небольшая корректировка задач учебников. Приведенные упражнения могут служить образцом в осуществлении этой работы.

Идея привлечения школьников к составлению геометрических задач может осуществляться при использовании готовых чертежей. Это позволяет формировать комплекс многих действий, составляющих умение доказывать. Действительно, такая работа предполагает анализ ситуации, заданной рисунком (выделить объекты, отношения между ними, привести словесную формулировку заданной ситуации, обозначить ряд требований, причем при этом приходится осуществлять простое и составимое вычленение фигур, представлять фигуру в плане различных понятий и т.п.), выведение следствий из данных рисунка. Отметим и то, что решение школьных задач в учебнике геометрии основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертеж, а обратная трансформация не используется, что ведет к перекосу в обучении умения решать задачи, а в конечном счете – к значительным трудностям, испытываемым учащимися при решении геометрических задач.

Пример: составьте несколько задач, используя рис. 3.

Рис. 3 фиксирует конфигурацию, состоящую из смежных углов и их биссектрис. Требованиями задач могут быть следующие предложения:

а) найдите угол между биссектрисами;

б) докажите, что угол между биссектрисами смежных углов прямой. (На второе утверждение может навести восприятие рисунка.)

в) Можно предложить учащимся сформулировать утверждение, обратное утверждению б, и доказать его. (Два угла с общей стороной, биссектрисы которых образуют прямой угол, являются смежными.)

Решение этой задачи предполагает выполнение обратного действия, заключающегося в трансформации словесной формулировки задачи в ее графическую модель.

Активности ученика в процессе доказательства ' будет способствовать работа учителя по формированию эвристических приемов и повышению уровня логической строгости. Первое направление связано с использованием аналогии, обобщения, рассмотрением частных случаев, предельных положений и т.д.

Второе направление реализуется посредством привлечения упражнений на 'обоснование интуитивных положений, используемых в доказательствах теорем, на опровержение предложенных ученику утверждений и доказательств. Отыскание промежуточного предложения, корректировка доказательства и являются примером одного из отмеченных типов упражнений. Что же касается во многом нетрадиционного компонента обучения доказательству – обучения опровержению предложенных утверждений и доказательств, то его обсуждение заслуживает специальной статьи.