Обучение доказательству

Курс математики V–VI классов дает хорошую возможность для пропедевтики формирования умений рассуждать по указанным схемам.

Конечно, не следует надеяться на то, что ученики сразу же начнут грамотно рассуждать. Учитель должен терпеливо и настойчиво внедрять подобные рассуждения в обоснование учащихся и давать при этом образцы рассуждений.

Еще пример из учебника математики Э.Р. Нурка и А.О. Тельгмаа. Упражнение 603: «Какие из углов, изображенных на рис, 2: 1) больше 90°; 2) меньше 90°; 3) равны 90°?

Приведем рассуждения, сопутствующие выполнению упражнения 1. Угол больше 90°, если прямой угол является его частью. Угол EOB содержит прямой угол. Значит, угол EOB больше 90°. Обучение школьников умению логически рассуждать – важная задача учителя математики. При хорошо организованной пропедевтической работе в V–VI классах учащиеся VII класса уже с первых уроков овладевают рассуждениями, основу которых составляют правила заключения и отрицания, и используют эти правила в дальнейшем в качестве ориентировочной основы выполнения действия распознавания. Такая работа должна проводиться при выполнении упражнений не только на распознавание объектов, принадлежащих понятию, но и на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме.

Пониманию структуры наиболее употребимых дедуктивных умозаключений может способствовать использование специальных упражнений на отыскание: а) большой посылки; б) малой посылки; в) вывода.

С первых уроков геометрии следует осуществлять систематическую работу и по формированию таких действий, как выведение следствий, переформулировка требования задачи, составление вспомогательных задач, образующих основу эвристических приемов. (Ясно, что пропедевтика их формирования может и должна осуществляться еще в V–VI классах.) Можно предложить следующую последовательность формирования указанных действий. Вначале акцент делается на овладении умениями извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, соотносить требование с условием и т.д. Примеры упражнения, ориентированного на усвоение этих действий:

На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С лежит между точками A и B?

Подобные упражнения выполняются, как правило, устно при изучении соответствующих фактов – при изучении основных свойств откладывания отрезков.

В качестве примера рассмотрим методику работы с упражнением 1. После выделения условия, заключения, выполнения рисунка проходит примерно следующая беседа.

Учитель: Итак, нам известно, что отрезок AC отложен на луче АВ. Что можно сказать о расположении точек A, В и С, если точки В и С не совпадают?

Ученик: Либо С лежит между A и В, либо В лежит между A и С.

Учитель: А что нам надо установить?

Ученик: Надо найти условие, которое вместе с данным позволило бы сделать вывод: С лежит между А и В.

Учитель: Что еще нужно знать, чтобы утверждать, что С лежит между A и C?

Ученик: Отрезок АС меньше отрезка АВ.

Учитель: Какое же утверждение мы должны включить в условие?

Ученик: АС< АВ.

Оформление решения этой задачи может быть таким; С между А и В при условии: С АВ, АС < АВ.

Сама же беседа обучает школьников грамотной постановке вопросов, ответов на них, служит образцом рассуждений.

Последующая серия упражнений ориентирована на овладение учащимися действием выведения следствий из данных. Это действие является важным компонентом логической составляющей доказательства, однако оно зачастую помогает найти путь к решению задачи, и в этом смысле прием выведения следствий относят к эвристическим приемам.

Примеры соответствующих упражнений:

3. Точка С лежит между точками A и B, а точка X – между точками A и С. Докажите, что точки A, В, С и Х принадлежат одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Что следует из этого?

При выполнении подобных упражнений внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Полученные следствия и данные утверждения можно использовать для составления учащимися задач. Выполняя упражнения этой группы, можно прибегать и к «развертке» получения отдельных следствий- с указанием большой и малой посылок.