Обучение доказательству

Извечно актуальная проблема – обучение школьников доказательству – приобрела в данное время еще большую значимость. Осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности ее нравственных качеств. Это во многом зависит от решения указанной проблемы.

Что понимать под обучением доказательству? Оказывается, что в разные периоды развития методики математики вкладывали различный смысл в содержание этого понятия. Примерно до 60-х гг. оно отождествлялось с заучиванием готовых доказательств. Истоки такого представления восходят к Евклиду и закрепляются трудами Аристотеля, Гильберта, которые сводили доказательство к его логической форме. Поскольку учащиеся не владели правилами вывода, то под обучением доказательству и можно было понимать лишь разучивание и воспроизведение доказательств, содержащихся в учебниках математики. Эта мысль очень ярко выражена в одной из работ того времени.

Ф.Н. Гоноболин выделяет три уровня понимания.

Первый характеризуется тем, что учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства без последующей их связи друг с другом;

Основная черта второго уровня состоит в понимании учащимися последовательной связи отдельных элементов доказательства, но без выделения логической схемы;

Третьему уровню свойственно понимание учеником идеи доказательства.

Ясно, что продвижение ученика в овладении приведенными уровнями понимания доказательства невозможно вне обучения его логическим действиям. Некоторыми исследователями обращается внимание на это. Так, рекомендуется специально обучать действиям подведения объекта под понятие, выведению следствий, правилам импликации, дедукции, контра-позиции и т.д. (Г.А. Буткин, М.Б. Волович, Э.И. Айвазян и др.). Однако, несмотря на значительные усилия исследователей, проблема обучения школьников логическим действиям не получила удовлетворительного решения. По-видимому, одной из причин этого было то, что предложенные авторами средства, в частности задачи, ориентируемые на формирование действий, не вписывались в тогдашнее представление о содержании обучения математике, методике формирования понятий и работе с теоремой.

С начала 70-х гг. под влиянием книг Д. Пойя, работ Ю.М. Колягина, 3. Крыговской и других меняется представление об обучении доказательству. Акцент смещается в сторону эвристической составляющей доказательства. Новый акцент в обучении доказательству значительно стимулировал исследования проблемы методики обучения решению задач, в частности обучения поиску способа решения задачи, использованию методов научного познания в изучении математики, формированию эвристических приемов и т.д. Надо сказать, что хотя в теории обучения решению задач и произошел поворот в сторону приобщения ученика к поисковой деятельности, в практике ощутимых конкретных успехов в обучении доказательству было мало. Основная причина этого заключалась в том, что рекомендации по реализации эвристической составляющей не имели необходимой логической основы. Готовые доказательства должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства. Однако практическая реализация этих важных и интересных мыслей не была найдена.

В книге И. Лакатоса «Доказательства и опровержения» (М., 1976), были высказаны важные положения об обучении доказательству. В частности, автор выделяет следующие уровни владения доказательством:

понимание и воспроизведение готовых доказательств;

самостоятельный разбор готового доказательства;

осуществление самостоятельного доказательства;

опровержение предложенных доказательств.

Прежде чем сформулировать обобщенную концепцию обучения доказательству, выделим ряд психологических положений, имеющих непосредственное отношение к ней:

структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13–14 годам;

развитие «доказательного» мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступает критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам.