Обучение доказательству

Резюмируя все сказанное, приходим к выводу, что обучение доказательству есть обучение анализу готовых доказательств, их воспроизведению или опровержению, самостоятельному поиску и конструированию доказательства. Особенность данной концепции не только в расширенном толковании обучения доказательству, но и в том, что она не противопоставляет логику и эвристику, а объединяет обе составляющие в единое целое. Практическая реализация этой концепции требует ее методического анализа.

Начальный уровень умения доказывать характеризуется пониманием необходимости логических обоснований, навыками осуществлять простейшие дедуктивные выводы и пониманием того, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Он соотносится в основном с обучением математике учащихся V–VI классов. Следующий уровень включает умение школьников осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, а также работу по формированию действий выведения следствий, преобразованию требования задачи (заключения теоремы) в новое, из которого данное вытекает как следствие, составлению вспомогательных задач. Эти действия образуют основу поиска способа решения задачи (доказательства теоремы), а также применения методов научного познания (аналогии, обобщения и т.д.) в различных ситуациях и в этом смысле имеют эвристический характер. Этот уровень по своему содержанию соотносится с первыми разделами систематического курса планиметрии, которые включают и многие эвристики, основанные на ассоциациях: «равенство отрезков – равенство треугольников», «равенство углов – равенство треугольников», «сторона а треугольника больше стороны b – угол, лежащий против стороны а, больше угла, лежащего против стороны b», «сравнить два объекта – ввести в рассмотрение третий объект, находящийся с данными в известных отношениях» и т.д. Обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять указанные эвристики составляет содержание рассматриваемого уровня в обучении школьников доказательству.

Доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты. В них присутствует в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже делается ссылка на утверждение, отсутствующее в учебнике. Анализ доказательства: выделение логических шагов, поиск и устранение логических пробелов, развертывание дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделение идеи доказательства и его воспроизведение – составляет содержание следующего компонента понимания доказательства, а его усвоение – содержание следующего уровня обучения школьников доказательству. Этот анализ готовит учащихся к самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено на предыдущем уровне усвоения доказательства. Эвристическая составляющая переходит в такие приемы, как прием элементарных задач, представления задачи в пространстве состояний, прием вспомогательной фигуры, рассмотрения предельных случаев, прием аналогии, обобщения и т.д. Возможности учебников геометрии для формирования указанных эвристических приемов значительны.

Участие школьников в самостоятельном открытии фактов, формулировках, конструировании доказательств, естественно, сопряжено с возникновением разного рода ошибок, поэтому важно умение критически оценивать результаты своей и своих товарищей работы, которое и формируется в процессе опровержения предложенных утверждений и доказательств.

В методической литературе неоднократно предпринимались попытки формирования у школьников навыков дедуктивного мышления, причем как на математическом, так и ином материале. Вот пример одного из таких упражнений: можно ли на основании предложений: «В понедельник я хожу в школу. Сегодня я был в школе» – сделать вывод: «Сегодня понедельник»? Еще П.П. Блонский отмечал, что младшему школьному возрасту посильны рассуждения по схеме правила заключения и правила отрицания. Причина этого в том, что весь ими специально подобранный для формирования навыков дедуктивного вывода материал не вписывался в школьные учебники математики.

Иную ситуацию мы имеем сейчас. Общеизвестно, что важным элементом методики формирования понятий являются упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию.