Линейные уравнения с параметром, содержащие квадратные корни

2.1 Уравнения с ограничениями для решения

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет один параметр а. если a=0, то пишем линейное уравнение -4x+3=0, которое имеет один корень . При a≠0 уравнение является квадратным, и его корни выражаются через параметр а формулами . Эти формулы имеют числовые значения, если: . Решая это неравенство, находим:

-при

-при

-при

Ответ. При ; при , ; при корней нет.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. рассмотрим два случая: a=2 и a≠2. В первом случае исходное уравнение принимает вид -4x+1=0. Это линейное уравнение с единственным корнем . Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом .

Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта.

При a=1 или a=6 дискриминант квадратного уравнения равен нулю, и оно имеет один корень , то есть при a=1 получаем корень .

При дискриминант положительный, и квадратное уравнение имеет два корня:

.

При дискриминант оказывается отрицательным. Следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ. При .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. . Наличие квадратного уравнения приведет к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие должно привлечь внимание.

.

Если D>0, то есть , то уравнение имеет два корня . Если то корней нет.

Ответ. Если то , если , если , если то корней нет.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Если a=-6, то решаем линейное уравнение -8x-6=0. .

Если a≠-6, то решаем квадратное уравнение.

.

.

.

.

.

Если

Если .

Если a=-8, то x=-2.

Если a=2, то x=0,5.

Ответ. Если , если , если , то корней нет, если , то .

Пример 5. Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.