Основные понятия, изучаемые на первых уроках

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Штурмом и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А.Н. Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др.

Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор «удобной» системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т.е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что приведенная система аксиом не является полной. Так, в частности, ниоткуда не следует, что между двумя данными точками прямой лежит еще точка этой прямой. Нам кажется это очевидным, так как прямая, по нашим представлениям, сплошная, непрерывная, без «дыр». Но это представление должно получить точное определение в виде свойства прямой. Аксиома, задающая это свойство, есть, и она называется «аксиомой непрерывности». Но эта аксиома не приводится, поскольку ее использование затруднит изложение и приходится поступиться строгостью в угоду наглядности и простоте. Не везде обосновывают и утверждения, которые кажутся очевидными, но их строгое обоснование трудоемко и объемно.

Аксиомы (основные свойства простейших геометрических фигур)

Аксиомы принадлежности

I1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

I2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы расположения

II1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

II2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиомы измерения

III1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

III2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен равен 180о. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы откладывания

IV1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

IV2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180о, и только один.

IV3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Аксиома параллельности

V Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

На первых уроках геометрии, систематизируется и более строго формулируются аксиомы планиметрии, с которыми учащиеся уже знакомы из курса математики 5–6 классов. Им необходимо уделить особое внимание на занятиях при изложении теоретического материала и проведении практических.

Геометрия (греч. geometria, от ge – Земля и metreo – мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Происхождение термина «Геометрия», что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н.э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п. Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.