Основные понятия, изучаемые на первых уроках

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т.е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. Угол можно обозначить двумя малыми латинскими буквами, тремя большими латинскими буквам, либо одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла.

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

За единицу измерения углов принят градус – угол, равный 1/180 части развернутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле называется градусной мерой угла (1/60 часть градуса – минута, а 1/60 часть минуты – секунда).

Равные углы имеют равные градусные меры. Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Угол называется прямым, если он равен 900, острым, если он меньше 900., тупым, если он больше 900, но меньше 1800.

Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол не развернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая – внешней областью этого угла.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 1800.

Так как лучи OA и OC образуют развернутый угол, то AOB+BOC=AOC=1800. Таким образом, сумма смежных углов равна 1800.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов 1+2=1800 и 3+2=1800. Отсюда получаем 1=1800 -2, 3=1800-2. Таким образом градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Итак вертикальные углы равны.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Обозначаются перпендикулярные прямые .

Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.

В самом деле, рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой PQ. Мысленно перегнем рисунок по прямой РQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА належится на луч РА1. Аналогично, луч QВ наложатся на луч QB1. Поэтому, если предположить, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, то эта точка належится на некоторую точку M1, также лежащую на этих прямых, и мы получим. что через точки М и М1 проходят две прямые: АА1 и ВВ1. Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.

Аксиоматический метод построения геометрии

Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.

К началу III в. до н.э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н.э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX–XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.