Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрами

m

m=2+3n

2 m=2 (решений нет)

n

n=0 (решений нет)

Тогда:

а) при 3n-2, то есть n=, m=4 имеем уравнение 0х=0, решениями которого являются все действительные числа х (х≠1) из области определения уравнения.

m

4 n=, m=4 (x

2 m=2 (решений нет)

0 n=0 (решений нет) n

б) при уравнение решений не имеет.

Если то решения уравнения находятся по формуле .

Отметим полученные результаты на плоскости параметров: всем точкам плоскости, не лежащим на прямых m=2, n=0, m=3n+2, соответствуют решения уравнения, вычисленные по формуле . Но среди найденных решений уравнения при некотором наборе значений (m;n) могут находиться х, не входящие в область определения уравнения. Исключим их: =1, откуда m=6n.

Следовательно, если точка плоскости лежит на прямой m=6n (n≠), то уравнение решений не имеет.

m

m≠3n+2 n= , m=4

n≠0, m≠2 (xєR\{1})

m=2

(решений нет)

2

0 n=0 n

m=2+3n (решений нет)

(n≠)

(решений нет)

Ответ. 1) n= и m=4, xєR\{1}

2) n=0, или m=6n (n≠), или m=3n+2 (n≠), или m=2,решений нет.

3) m≠3n+2 и m≠6n, и n≠0, и m≠2 .

Пример 3. При каждом значении a и b решите уравнение .

Решение. Очевидно, что при b=0 или а=0 уравнение не имеет смысла и , следовательно, не имеет решений. Кроме того, х≠2. Пусть b≠0, а≠0, х≠2. В этом случае уравнение равносильно уравнению .

а) Воспользуемся приемом понижения степени: a=b. Тогда уравнение примет вид 4bx=0 (b≠0), откуда х=0. Получим, что точкам прямой b=a (b≠0) соответствует решение х=0.

b

b=0

(решений нет) b=a (x=0)

0 b=0

(решений нет) а

б) Пусть а≠b, тогда , где ab>0, при ab<0 решений нет.

в) Среди найденных наборов a и b исключим посторонние, то есть те, при которых х=2 (кроме b=0, a=0, b=a). Следовательно, , отсюда b=9a. Следовательно, если b=9a, то