Классификация задач на решение линейных уравнений с параметром

Решение линейных уравнений с параметрами с дополнительными данными в условии задачи

Пример 1. При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?

Решение. х-3х=-с-5.

-2х=-с-5.

х=с+5.

х≥0 при с+5≥0.

с≥-5.

Ответ. при с≥-5.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число -3 является единственным корнем уравнения а2х+6а=4х-12.

Решение. х(а2-4)=-6а-12.

Если а=2, то х*0=-24, то есть корней нет.

Если а=-2, то х*0=0, то есть хR.

Если а≠2, то - единственный корень.

Х=-3.

-3а2+6а+24=0|(-3).

а2-2а-8=0.

D=4+32=36.

a1=4; a2=-2.

-2- не удовлетворяет условию.

Ответ. а=4.

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах-5=х+а и а2х-3=х+а2 имеют общий корень.

Решение. (а-1)х=а+5. Уравнение имеет корень лишь при а≠1. .

(а2-1)х=а2+3. Данное уравнение имеет корень лишь при а≠±1. .

Осталось найти все значения параметра а≠±1, при каждом из которых оба уравнения имеют общий корень, то есть х1 и х2 есть одно и то же число.

.

.

.

. При .

Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах+1=2х+а и а2х-1=4х+а2 имеют общий корень.

Решение. ах+1=2х+а.

х(а-2)=а-1. Уравнение имеет корень лишь при а≠2.

.

.

. Уравнение имеет корень лишь при а≠±2.

.

Уравнения имеют общий корень при .

.

.

.

.

.

Ответ. при .

Пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения лежит в промежутке [0;5]?

Решение. очевидно, при а≠5 уравнение имеет корень . Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0;5]. Для этого решим двойное неравенство 0.

0

В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.

Ответ. a=3, a=4.

1.4 Тренировочные упражнения