Знакомство с задачами, содержащими параметры, через решение линейных уравнений в 7 классе

С некоторых пор основным связующим звеном всего курса математики стала идея функциональной зависимости. Благодаря этому устанавливается тесная связь между всеми разделами курса математики и появляется возможность подходить к решению уравнений и задач с более общей точки зрения в смысле полноты их решения. В связи с этим уместно привести высказывание В. М. Брадиса: «Представляется совершенно необходимым, чтобы учащиеся проводили исследование (то есть ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представляться) при решении каждой задачи, особенно такой, какая ставится в общем виде ( содержит параметры)».

При решении математических задач учащиеся встречаются с различными методами исследования, применяемыми в математике, так как решение задач « заставляет учащихся сравнивать, разъединять, абстрагировать, соединять, индуцировать, дедуцировать, конкретизировать и обобщать».

Математическая задача состоит из данных и искомых величин и из условия, содержащего зависимость между данными и искомыми величинами. Примерами задач с параметрами являются задачи такого типа: «Определить площадь правильного треугольника со стороной а см.». данная задача является задачей с одним параметром. Задача: «Периметры двух квадратов составляют в сумме а см., а сумма их площадей равна b см2. Определить стороны квадратов» является задачей с двумя параметрами. Задача, которая не содержит в явном виде параметра, то есть в которой известная величина не обозначена буквой, но в то же время не выражена конкретным числовым значением, является тоже задачей с параметрическими данными. Например, задача «Тело брошено вертикально вверх с известной начальной скоростью. Когда оно будет на высоте 100 м.?» является задачей с одним параметром, так как начальная скорость является известной величиной, не имеющей определённого числового значения. При решении задач с параметрическими данными составлением уравнения получаем уравнение с параметрическими данными, то есть уравнение, коэффициенты которого содержат параметры или функции от параметров.

Обычно в школьной практике при решении задач и уравнений с параметрическими данными ограничиваются выражением искомых величин в виде функции от параметров, оставляя открытым вопрос о годности найденного выражения как решения при тех или иных допустимых значениях параметров. Но в то же время этот вопрос является составной частью полного и исчерпывающего решения задачи или уравнения. В связи с широким внедрением идеи функциональной зависимости в преподавание математики исследование решений становится посильным уже для учащихся младших классов.

Впервые знакомство с задачами, содержащими параметрические данные, можно организовать в 7 классе в теме « Линейные уравнения с одним неизвестным». К этому времени учащиеся должны иметь первоначальные навыки:

1)в составлении и решении линейных уравнений с одним неизвестным с целочисленными коэффициентами в простейших случаях.

2)в решении задач с параметрическими данными арифметическим способом.

3)в установлении множества допустимых значений букв в аналитическом выражении и величин в задаче.

Работа в этом направлении ведётся систематически, начиная с 6 класса. Если такой работы не проводилось в 6 классе, то необходимо провести её в 7 классе.

Для ознакомления учащихся с понятием уравнения и задачи с параметрическими данными можно использовать имеющиеся у них знания о существовании корней линейного уравнения. На предыдущем уроке перед рассмотрением уравнений и задач с параметрическими данными даётся в виде домашнего задания задача: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна 95. Найти эти числа».

На следующем уроке разбирается подробно выполненное домашнее задание примерно по следующему плану. В данной задаче мы нашли, какие будут два натуральных числа, удовлетворяющие условиям задачи. Поставим вопрос: каким числом будет сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого? Знаем, что сумма будет обязательно натуральным числом. Но может ли этой суммой быть любое натуральное число, мы пока не сумеем ответить. Рассмотрим некоторые примеры, располагая их в таблице: