Линейные уравнения с параметром, содержащие модуль

При решении задач с параметрами умение аккуратно преобразовывать выражения, последовательно рассматривая «особые случаи», должно быть дополнено способностью «чувствовать» выражения, интуитивно понимая, какие значения может принимать выражение в целом или отдельные его части. Одним из классов задач, способствующих развитию подобных навыков, являются задачи с модулями. Именно такие примеры можно предложить после вводных уроков.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Это уравнение опирается на знание определения модуля. Так, . Следовательно, a≥0.

Ответ. а≥0.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=-2, то х=2; если а≠-2, то решений нет.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=0, то х=-2; если а≠0, то решений нет.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=0, то х=-2; если а≠0, то решений нет.

Пример 5. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=0, то х=3; если а≠0, то решений нет.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Так как и при всех значениях х, то их сумма может оказаться равной нулю лишь при условии, что оба слагаемых равны нулю:

Рассмотрим два случая:

. Тогда решением совокупности является при всех значениях b.

. Тогда первая система совокупности не имеет решений, а вторая система имеет решение лишь при b=1. Следовательно, при b=1 уравнение имеет единственное решение , при b≠1 не имеет решений.

Ответ: при и b≠1 нет решений, в остальных случаях (то есть при или b=1) уравнение имеет единственное решение .

Глядя на правильный ответ, можно предложить учащимся решение-рассуждение, не требующее никаких выкладок: сумма двух модулей может оказаться равной нулю лишь в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Второе слагаемое определяет единственный возможный корень , а первое равно нулю лишь в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю: либо , либо b=x, что при единственном возможном решении x=1 эквивалентно условию b=1. Во всех остальных случаях уравнение не имеет корней.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. При второе уравнение системы, а значит, и сама система имеет единственное решение x=1. Если же a=0, то из второго уравнения получаем x – любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения: x=1 или x=-1.

Ответ. если , то , если a=0, то x=±1.